Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 29
Determine se as curvas são lisas
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Vamos resolver mais essa atividade juntos?
Temos aqui curvas e deveremos determinar se elas são curvas lisas ou não.
Uma curva dada por uma função vetorial é denominada lisa quando for contínua e .
Dizemos que uma função é contínua se:
Mas calme, a gente não vai precisar calcular o limite aqui. Alguns grupos de funções são contínuas no conjunto dos números reais. São elas:
Funções lineares, funções polinomiais, funções trigonométricas, funções exponencias e logarítmicas que são contínuas em .
Então vamos analisar cada caso e verificar se eles estão de acordo com as definições de uma curva lisa.
Passo 2
- Vamos calcular a derivada de , no qual corresponde a derivada de cada componente. Como temos uma função polinomial, deveremos então:
Quando aplicamos o parâmetro , fica:
Logo não está de acordo com a definição para uma curva lisa, portanto não é uma curva lisa.
Passo 3
No item b, vamos calcular a derivada de , no qual corresponde a derivada de cada componente. Como temos uma função polinomial, deveremos então:
Para essa função vetorial temos que é continua e também que para temos:
Logo está de acordo com a definição de uma curva lisa, portanto é uma curva lisa.
Passo 4
No item c, vamos calcular a derivada de , no qual corresponde a derivada de cada componente. Aqui temos que derivar utilizando a regra da cadeia:
Sendo:
E
teremos então que:
Quando aplicamos o parâmetro , fica:
Logo não está de acordo com a definição para uma curva lisa, portanto não é uma curva lisa.
Resposta
a) Não é uma curva lisa.
b) É uma curva lisa.
c) Não é uma curva lisa.