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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 45

Se u → t = i ^ - 2 t 2 j ^ + 3 t 3 k ^ e v → t = t i ^ + cos ⁡ t j ^ + s e n   t k ^ . Determine:

d d t [ u → t ∙ v → t ]

Passo 1

Então meu querido amigo, vamos resolver essa atividade juntos aqui.

A gente tem as duas equações vetoriais:

u → t = i ^ - 2 t 2 j ^ + 3 t 3 k ^

v → t = t i ^ + cos ⁡ t j ^ + s e n   t k ^

E queremos derivar o produto delas:

d d t [ u → t ∙ v → t ]

Antes de sairmos substituindo quem é u → t e v → t e começar a derivar, vamos fazer o cálculo algébrico da derivada. Como temos um produto escalar dentro da derivada, precisamos aplicar a regra do produto.

d d t u → t ∙ v → t = u → t ∙ v → ' t + u → ' t ∙ v → t

As derivadas das funções é si é algo que a gente já conhece, basta apenas derivarmos cada termo da nossa função vetorial.

Passo 2

Então agora precisamos calcular quem é u → ' t e v → ' t :

u → t = i ^ - 2 t 2 j ^ + 3 t 3 k ^

v → t = t i ^ + cos ⁡ t j ^ + s e n   t k ^

Temos derivadas trigonométricas x n ' = n x n - 1 e as trigonométricas:

u → ' ( t ) = 0 , - 4 t , 9 t 2

v → ' ( t ) = 1 , - s e n   t , cos ⁡ t

Desta maneira a derivada fica:

d d t u → t ∙ v → t = u → t ∙ v → ' t + u → ' t ∙ v → t

d d t u → t ∙ v → t = 1 , - 2 t 2 , 3 t 3 ∙ 1 , - s e n   t , cos ⁡ t + 0 , - 4 t , 9 t 2 ∙ 1 , + cos ⁡ t , s e n   t

Realizando os produtos escalares, em que cada temos x , y , z de um vetor é multiplicado pelos respectivos termos de outro vetor e esse produto é somado:

d d t u → t ∙ v → t = 1 + 2 t 2   s e n   t + 3 t 3 cos ⁡ t - 4 t cos ⁡ t + 9 t 2 s e n   t

Organizando:

d d t u → t ∙ v → t = 1 - 4 t cos ⁡ t + 9 t 2 s e n   t + 3 t 3 c o s t

Resposta

d d t u → t ∙ v → t = 1 - 4 t cos ⁡ t + 9 t 2 s e n   t + 3 t 3 c o s t

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