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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 11

11. a) Determine alpha e beta de modo que

sin 6 x cos x = (1)/(2) ( sin alpha x + sin beta x )

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica sin a cos b = (1)/(2) [sin (a + b) + sin ( a - b )] . Substituindo,

sin 6 x cos x = (1)/(2) [sin (6 x + x) + sin ( 6 x - x )] = (1)/(2) [sin 7 x + sin 5 x]

Passo 2

Agora, vamos pôr esse valor que encontramos na primeira equação

sin 6 x cos x = (1)/(2) (sin 7 x + sin 5 x) = (1)/(2) ( sin alpha x + sin beta x )

Para satisfazer essa igualdade teremos o seguinte sistema

{[[7 x = alpha x => alpha = 7],[5 x = beta x => beta = 5]])

Passo 3

Substituindo alpha e beta , temos

sin 6 x cos x = (1)/(2) ( sin 7 x + sin 5 x )

Passo 4

b) Calcule int sin 6 x cos x d x

Passo 5

Utilizaremos o valor encontrado antes, substituindo na integral

int sin 6 x cos x d x = int (1)/(2) ( sin 7 x + sin 5 x ) d x = (1)/(2) int ( sin 7 x + sin 5 x ) d x

Lembrando que int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k . Assim,

(1)/(2) int ( sin 7 x + sin 5 x ) d x = (1)/(2) (- (1)/(7) cos 7 x - (1)/(5) cos 5 x) + k = - (1)/(14) cos 7 x - (1)/(10) cos 5 x + k

Resposta

int sin 6 x cos x d x = - (1)/(14) cos 7 x - (1)/(10) cos 5 x + k

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