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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 12c

12. Calcule

c ) int sin x cos 3 x d x

Passo 1

Usaremos a identidade trigonométrica sin a cos b = (1)/(2) [sin (a + b) + sin ( a - b )]

int sin x cos 3 x d x = int (1)/(2) [sin (x + 3 x) + sin ( x - 3 x )] = (1)/(2) int ( sin 4 x + sin (- 2 x) ) d x

Passo 2

Devemos lembrar que int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , sendo alpha e k constantes. Assim,

(1)/(2) int ( sin 4 x + sin (- 2 x) ) d x = (1)/(2) (- (1)/(4) cos 4 x - (1)/(( - 2 )) cos (- 2 x)) + k

= - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos (- 2 x) + k

Como seno é uma função par, cos (- 2 x) = cos 2 x . Então,

- (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos (- 2 x) + k = - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos 2 x + k

Resposta

Portanto, o resultado dessa integral é

int sin x cos 3 x d x = - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos 2 x + k

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Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 1 - c k Δ x k Onde P é uma partição de [ 2,3 ]
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 - 3 c k Δ x k Onde P é uma partição de [ - 7,5 ]
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