Enunciado

12. Calcule

c ) int sin x cos 3 x d x

Passo 1

Usaremos a identidade trigonométrica sin a cos b = (1)/(2) [sin (a + b) + sin ( a - b )]

int sin x cos 3 x d x = int (1)/(2) [sin (x + 3 x) + sin ( x - 3 x )] = (1)/(2) int ( sin 4 x + sin (- 2 x) ) d x

Passo 2

Devemos lembrar que int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , sendo alpha e k constantes. Assim,

(1)/(2) int ( sin 4 x + sin (- 2 x) ) d x = (1)/(2) (- (1)/(4) cos 4 x - (1)/(( - 2 )) cos (- 2 x)) + k

= - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos (- 2 x) + k

Como seno é uma função par, cos (- 2 x) = cos 2 x . Então,

- (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos (- 2 x) + k = - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos 2 x + k

Resposta

Portanto, o resultado dessa integral é

int sin x cos 3 x d x = - (1)/(8) cos 4 x + (1)/(4) cos 2 x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que int_(- 3)^0 g (t) d t = sqrt(2) . Calcule:int_0^(- 3) g (t) d t int_(- 3)^0 g (u) d u int_(- 3)^0 [- g (x)] d x int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 Δ x k Onde P é uma partição de [ 0,2 ]
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 1 - c k Δ x k Onde P é uma partição de [ 2,3 ]
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 - 3 c k Δ x k Onde P é uma partição de [ - 7,5 ]
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x