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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1-a

1 . Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 1 ,   1 ) .
  2. σ   ( u ,   v )   =   ( cos ⁡ u , sin ⁡ v ,     v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( π 2 ,   1 ) .
  3. σ   ( u ,   v )   =   ( 2 u   +   v ,   u   -   v ,   3 u   +   2 v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 0 ,   0 ) .
  4. σ   ( u ,   v )   =   ( u   -   v ,   u 2   +   v 2 ,   u v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 1 ,   1 ) .
  5. σ   ( u ,   v )   =   a r c t g   u v ,       e u 2 - v 2 ,   u - v ,   n o   p o n t o   σ   ( - 1 ,   1 )

Passo 1

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 1 ,   1 ) .

A equação do plano tangente é

T =   σ   u 0 ,   v 0 + s ∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ u + t ∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ v

OU seja é a equação da superfície no ponto + as derivas parciais no ponto. Mega fácil certo ?

Passo 2

σ   u 0 ,   v 0 = 1,1 , 2

Vamos calcular as derivas parciais, em relação a u

∂ σ   u , v ∂ u = 1,0 ,   2 u

∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ u = 1,0 , 2

Agora derivando em relação a v

∂ σ   u , v ∂ v = 0,1 , 2 v

∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ v = 0,1 , 2

Passo 3

Vamos unir os cálculos e descobrir o plano tangente

T =   1,1 , 2 + s 1,0 , 2 + t 0,1 , 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

T =   1,1 , 2 + s 1,0 , 2 + t 0,1 , 2

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Coloque a equação na forma-padrão, classifique a superfície e esboce-a. x 2 = 2 y 2 + 3 z 2
Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I - V I I I ). Justifique sua escolha. x 2 + 2 z 2 = 1
Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I - V I I I ). Justifique sua escolha. y = x 2 - z 2
Coloque a equação na forma-padrão, classifique a superfície e esboce-a. x 2 - y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 2 z + 4 = 0
Coloque a equação na forma-padrão, classifique a superfície e esboce-a. x = 2 y 2 + 3 z 2