Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 64
Determine o ponto dado pela intersecção das retas:
Determine a equação do plano que contém essas retas.
Passo 1
Olá, tudo bem? Lembram que retas só se encontram de duas formas: ou várias vezes, quando uma “está” sobre a outra, ou apenas uma, quando temos um ponto em comum. Como os vetores diretores dessas duas retas não são múltiplo um do outro, (lá da álgebra linear, eles não são linearmente dependentes), então essas retas só se encontram num ponto.
Pra isso acontecer, a coordenada de uma reta tem que ser igual à coordenada da outra. A coordenada de uma tem que ser igual à coordenada da outra, e assim por diante... vocês me entenderam! As coordenadas devem ser iguais. Sendo assim ficamos com o seguinte sistema:
Para
Para
Para
Da terceira equação tiramos o valor de :
Agora da equação do meio tiramos o valor de :
E para fazer a prova real, podemos usar a primeira equação, substituindo os valores de e :
Certo! Então achamos os parâmetros e . Agora podemos substituir em qualquer equação de reta para determinar o ponto. Vou pegar a equação para e substituir por .
O ponto então é:
Passo 2
Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano.
A ideia é a seguinte: a partir do ponto de intersecção das retas, construir dois vetores, um de cada reta, assim teremos dois vetores que pertencem ao plano. Com esses dois vetores na mão podemos fazer o produto vetorial entre eles e determinar um terceiro vetor. Esse vetor vai ser normal aos outros dois e o mais importante: normal ao plano que queremos!
Vamos por em prática?
Vamos aos vetores. Da reta , com (aqui você pode escolher qualquer valor):
E o vetor de
Da reta , com (aqui você pode escolher qualquer valor):
E o vetor de
O produto vetorial entre eles é:
Passo 3
Já que temos o vetor diretor e o ponto , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):
Agora é só substituir!
Beleza?
Vamos pra próxima?