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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 65

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é paralela ao plano x + y + z = 2 e perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação da reta é preciso um ponto que pertence a ela ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor direto n → = ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

O ponto nós já temos: P = ( 0,1 , 2 ) .

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor na direção da reta. Vamos pensar um pouco. Temos um vetor que é paralelo à reta, que é o vetor diretor do plano dado:

v → = ( 1,1 , 1 )

O outro vetor é perpendicular à reta, e é o vetor diretor da reta dada:

u → = ( 1 , - 1,2 )

Assim um vetor que seja na direção da reta vai ser o vetor resultante do produto vetorial entre esses dois vetores. Assim ó:

n → = 1,1 , 1 × 1 , - 1,2 = i → j → k → 1 1 1 1 - 1 2 = i → 2 + 1 + j → 1 - 2 + k → ( - 1 - 1 )

Assim o vetor diretor da reta vai ser:

n → = 3 i → - j → - 2 k →

Passo 3

Já que temos o vetor diretor n → = ( a , b , c ) = ( 3 , - 1 , - 2 ) e o ponto P = x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,1 , 2 ) , e lembrando que a equação paramétrica da reta é:

x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Agora é só substituir!

x = + 3 t y = 1 - t z = 2 - 2 t

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x = + 3 t y = 1 - t z = 2 - 2 t

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Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:O ponto P ' simétrico de P em relação a π .
Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s , nos casos: A 2,1 , - 4 , π : x - y + 3 z - 5 = 0 , s : x = 1 + 3 t , y = 3 - t , z = - 2
Escrever uma equação geral do plano que passa por A - 1,2 , - 1 e é paralelo a cada uma das retas r 1 : y = x , z = 1 - 3 x e r 2 : 2 x = y = 3 z .
Apresentar uma equação geral dos planos em que:O plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos de abscissa, ordenada e cota iguais a - 3 , 6 e - 5 , respectivamente.