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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 48

Determine os pontos críticos da função g ( x ) = ( x - 1 ) ² ( x - 3 ) ²

Passo 1

Um ponto crítico de uma função se dá quando f^' (x) = 0 .

Para isso, faremos a derivada da função e calcularemos qual o valor de x que zera essa equação.

Passo 2

Derivando a equação acima pela Regra do produto, teremos:

g^' (x) = (2 x - 2) (x - 3)^2 + ( x - 1 ) ² ( 2 x - 6 )

Passo 3

Se tentarmos expandir, o polinômio ficará tão grande que será muito complicado de acharmos seus pontos críticos. Fatoremos a expressão:

g ' (x) = 2 (x - 1) (x - 3)^2 + (x - 1)^2 2 ( x - 3 )

g ' (x) = 2 (x - 1) (x - 3) (x - 3) + (x - 1) ( x - 1 ) 2 ( x - 3 )

g^' (x) = 2 (x - 1) (x - 3) xx ((x - 3) + (x - 1))

g^' (x) = 2 (x - 1) (x - 3) xx (x + x - 3 - 1)

g^' (x) = 2 (x - 1) (x - 3) xx (2 x - 4)

g^' (x) = 2 (x - 1) (x - 3) xx 2 ( x - 2 )

g^' (x) = 4 (x - 1) (x - 2) ( x - 3 )

Passo 4

Veja como os pontos críticos praticamente pulam como num passe de mágica.

Por ser um produto, caso qualquer um dos parênteses seja nulo, a derivada também será, o que caracteriza um ponto crítico.

g^' (x) = 4 (x - 1) (x - 2) (x - 3)

4 (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

x - 1 = 0

x_1 = 1

x - 2 = 0

x_2 = 2

x - 3 = 0

x_3 = 3

Resposta

x = 1 ; x = 2 ; x = 3

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