Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = 2 cos ⁡ x ;         - 2 π 3 , π 3

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado.

A função f x = 2 cos ⁡ x oscila entre - 2 e 2 . O valor máximo é atingido para cos ⁡ x = 1 , o que é dado por

x = n ⋅ 2 π ,       n ∈ Z

Já o valor mínimo é atingido quando cos ⁡ x = - 1 , de modo que

x = π + n ⋅ 2 π ,         n ∈ Z

No intervalo - 2 π / 3 ,   π / 3 , temos que apenas o valor máximo pode ser atingido quando n = 0 : x = 0 . Assim, o valor mínimo deve ser atingido em um dos extremos do intervalo.

Passo 2

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Note que, de fato, o máximo é atingido quando x = 0 . Já o mínimo é atingido no extremo inferior do intervalo com f - 2 π / 3 = - 1 .

Resposta

Máximo absoluto: f 0 = 2 .

Mínimo absoluto: f - 2 π / 3 = - 1 .

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