Determine os domínios e as imagens de f , g , f + g , f \* g

f(x) = x

g(x) = raiz(x - 1)

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

O domínio da função f + g e f ⋅ g consiste na interseção dos domínios da função f e g . Em outras palavras, isto é:

D f + g = D f ⋅ g = D f ∩ D g

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função f consiste em um polinômio de grau 1. Todo polinômio tem domínio pertencente aos reais. Isto é:

D f = R

Já a imagem, também consiste aos reais. Basta lembrar que esta função possui como gráfico uma reta!

Passo 3

A função g x = x - 1 consiste em uma função raiz. Ela só existe quando o argumento de dentro da raiz possui valor maior ou igual a zero. Desta forma, é necessário que:

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Portanto, D g = x ∈ R     x ≥ 1 } . Já a imagem das funções raízes consistem nos números reais positivos e nulos.

Passo 4

O domínio da função f + g é a interseção dos domínios das funções f e g , isto é:

D f + g = x ≥ 1

Já a imagem, para x = 1 , temos:

f 1 + g 1 = 1

E a medida em que x cresce, o valor de f + g também cresce. Portanto, a imagem é o intervalo [ 1 , ∞ ) .

Passo 5

O domínio da função f ⋅ g é a interseção dos domínios das funções f e g , isto é:

D f ⋅ g = x ≥ 1

Já a imagem, para x = 1 , temos:

f 1 ⋅ g 1 = 0

E a medida em que x cresce, o valor de f ⋅ g também cresce. Portanto, a imagem é o intervalo [ 0 , ∞ ) .

Resposta

Função f ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: Números reais.
  • Função g ( x ) :

  • Domínio: x ≥ 1 ;
  • Imagem: [ 0 , ∞ ) .
  • Função f x + g ( x ) :

  • Domínio: x ≥ 1 ;
  • Imagem: [ 1 , ∞ ) .
  • Função f x ⋅ g ( x ) :

  • Domínio: x ≥ 1 ;
  • Imagem: [ 0 , ∞ ) .
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