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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 46

Determine se é possível representar por um número a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é 2 x y - y = 1 , pelo eixo x e pela reta x = 1 . Sendo possível calcule-o.

Passo 1

Ele quer a área da curva 2 x y - y = 1

Para isso, temos que fazer a integral de uma função f x , vamos isolar o y para ver que função será essa:

2 x y - y = 1

y 2 x - 1 = 1

y = 1 2 x - 1

Entao temos que fazer a integral dessa função, indo de x = 1 até o eixo x . Isso significa indo de 1 até + ∞ .

Essa função possui uma descontinuidade, como vamos verificar isso? Precisamos olhar o denominador da expressão dentro da integral e determinar quando ele será 0 .

2 x - 1 = 0

x = 1 2

Esse é o ponto de descontinuidade.

Repare que a integral vai de 1 até + ∞ , então essa descontinuidade não vai nos atrapalhar.

A integral vai ser:

∫ 1 + ∞ d x 2 x - 1

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 1 + ∞ d x 2 x - 1 = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x 2 x - 1

E calcular integral separadamente.

∫ d x 2 x - 1

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ d x 2 x - 1

Para isso, primeiro vamos fazer:

2 x - 1 = a → d a = 2 d x → d x = d a 2

A nossa integral vai ficar:

∫ d x 2 x - 1 = ∫ d a 2 a

Essa integral em a fica

∫ d a 2 a = 1 2 ∫ d a a = 1 2 ln ⁡ a + C

Voltando para x

1 2 ln ⁡ a + C = 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 + C

Passo 3

Vamos para o limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x 2 x - 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 1 b =

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 1 + 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 3 =

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 3 = 1 2 ln ⁡ 2 + ∞ + 1 - 1 2 ln ⁡ 3 = + ∞

Logo essa integral diverge, não podemos escrever a área como um número

Resposta

Diverge

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