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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 41

Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada.

f x = x - 1 2

a = 9

n = 4

Passo 1

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.

Ele quer em a = 9 , então, vamos ter:

x 0 = 9

Passo 2

Temos:

f x = x - 1 2  

Vamos ter:

P 4 x = ∑ i = 0 4 f i 0 i ! x i

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

f x = x - 1 2

Fazendo as derivadas:

f ' x = - 1 2 x - 3 2

f ' ' x = - 1 2 - 3 2 x - 5 2 = 3 4 x - 5 2

f ' ' ' x = 3 4 - 5 2 x - 7 2 = - 15 8 x - 7 2

f i v x = - 15 8 - 7 2 x - 9 2 = 105 16 x - 9 2

Então vamos ter:

f ' 9 = - 1 2 9 - 3 2

f ' ' 9 = 3 4 9 - 5 2

f ' ' ' 9 = - 15 8 9 - 7 2

f i v 9 = 105 16 9 - 9 2

Lembrando que

9 - 1 2 = 1 9 1 2 = 1 9 = 1 3

Vamos ter:

f ' 9 = - 1 2 1 3 3 = - 1 54

f ' ' 9 = 3 4 1 3 5 = 1 324

f ' ' ' 9 = - 15 8 1 3 7 = - 5 5832

f i v 9 = 105 16 1 3 9 = 35 104976

Passo 3

O polinômio de Taylor de cos ⁡ x vai ser:

P 4 x = f 0 0 ! + f ' 0 1 ! x - 9 + f ' ' 0 2 ! x - 9 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 9 3 + f i v 0 4 ! x - 9 4

Substituindo os valores:

P 4 x = 1 3 - 1 54 x - 9 + 1 648 x - 9 2 - 5 34992 x - 9 3 + 35 2519424 x - 9 4

Passo 4

Vamos calcular o Erro de Lagrange agora.

Vamos ter:

R 4 x = f 5 ε 5 ! x - 9 5

Temos:

f 5 ε = 945 32 ε - 11 2

Logo:

R 4 x = 945 32 ε - 11 2 5 ! x 5

Com o ε entre 9 e x .

Resposta

P 4 x = 1 3 - 1 54 x - 9 + 1 648 x - 9 2 - 5 34992 x - 9 3 + 35 2519424 x - 9 4

R 4 x = 945 32 ε - 11 2 5 ! x 5

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.5 .f x = s e n x ; a = π 6 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.8 .f x = x ; a = 4 ; n = 4 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 0 .f x = ln ⁡ x + 2 ; a = - 1 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.4 .f x = t gx ; a = 0 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.9 .f x = l n x ; a = 1 ; n = 3 .