Uma função densidade de probabilidade uniforme é definida por:

f x = 0 s e c < x 1 d - c s e c ≤ x ≤ d 0 s e d < x

Mostre que essa função satisfaz as condições necessárias para que possamos classifica-la como uma função de densindade de probabilidade.

Passo 1

As coniidções que ele falou ali no enunciado são:

  1. f x ≥ 0   p a r a   t o d o   x   e m   R
  2. ∫ - ∞ + ∞ f x d x = 1

Então temos que verificar as duas condições.

Primeiro, se

f x ≥ 0 ,   p a r a   t o d o   x   e m   R

A nossa função é 0 antes de c e depis de d . Entao ela é maior ou igual a zero nessas partes.

No outro intervalo, temos

f x = 1 d - c

Como ele coloca

d > c → d - c > 0

Então essa fração é positiva, o que faz com que a primeira condição seja satisfeita.

Passo 2

A segunda condição e calcular a integral

∫ - ∞ + ∞ f x d x

Vamos ter:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ - ∞ c f x d x + ∫ c d f x d x + ∫ d + ∞ f x d x

Colocando as devidas expressões em cada parte das integrais. Mas aquelas duas com f x = 0 , então vamos ter:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ c d 1 d - c d x

E vamos acabar com

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ c d 1 d - c d x = x d - c d c = d d - c - c d - c = d - c d - c = 1

Logo ambas as condições são satisfeitas

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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