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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 34

Suponha que o dono de um imóvel comercial recebe um aluguel permanente pela propriedadade, pago indefinidamente. Se o aluguel anual for de $ 12000 e o dinheiro render 10 % ao ano, composto continuamente, ache o valor atual de todos os pagamentos futuros.

Passo 1

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

A função rendimento vai ser:

f t = 12000

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ 1 2 000 ∙ e - 0 , 1 t d t

Porque ele disse que a taxa é 10 % , o que faz com que i seja 0 , 1 .

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ 1 2 000 ∙ e - 0,1 t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 2 000 ∙ e - 0,1 t d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ 12000 ∙ e - 0,1 t d t

Fazendo:

a = - t 0 , 1 → d a = - 0,1 d t → d t = - d a 0,1

∫ 12000 ∙ e - 0,1 t d t = ∫ 12000 ∙ e a d a - 0,1 = - ∫ 12000 0 ∙ e a d a   = - 120000 e a + C

Voltando para   x

- 120000 e a + C = - 120000 e - 0,1 t + C

∫ 12000 ∙ e - 0,1 t d t = - 120000 e - 0,1 t + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

∫ 0 + ∞ 12000 ∙ e - 0,1 t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 12000 ∙ e - 0,1 t d t = lim b → + ∞ ⁡ - 120000 e - 0,1 t 0 b

= lim b → + ∞ ⁡ - 120000 e - 0,1 b - - 120000 e - 0,1 0 =

lim b → + ∞ ⁡ - 120000 e - 0,1 b + 120000 = - 120000 e - 0,1 + ∞ + 120000 = 120000

Logo

V = 120000

Resposta

V = 120000

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