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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 39

Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge.

∫ 1 + ∞ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ 1 + ∞ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x

Vamos fazer:

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 1 + ∞ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x

E calcular integral separadamente.

∫ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x  

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x  

Pelas propriedades de integrais:

∫ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x   = ∫ n x 2 x 3 + 1 d x   - ∫ 1 3 x + 1 d x  

Temos que resolver cada integral separadamente:

Primeiro:

∫ n x 2 x 3 + 1 d x  

Para isso, vamos fazer:

x 3 + 1 = a → d a = 3 x 2 d x → x d x = d a 3

A nossa integral vai ficar:

∫ n x 2 x 3 + 1 d x   = ∫ n d a 3 a = n 3 ∫ d a a = n 3 ln ⁡ a + C

Voltando par a x

n 3 ln ⁡ a + C = n 3 ln ⁡ x 3 + 1 + C

Passo 3

Agora

∫ 1 3 x + 1 d x  

Para isso, vamos fazer:

3 x + 1 = a → d a = 3 d x → d x = d a 3

A nossa integral vai ficar:

∫ 1 3 x + 1 d x   = ∫ d a 3 a = 1 3 ∫ d a a = 1 3 ln ⁡ a + C

Voltando par a x

1 3 ln ⁡ a + C = 1 3 ln ⁡ 3 x + 1 + C

Passo 4

Nossa integral vai ser:

∫ n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x   = n 3 ln ⁡ x 3 + 1 - 1 3 ln ⁡ 3 x + 1 + C

Vamos arrumar esses logs

n 3 ln ⁡ x 3 + 1 - 1 3 ln ⁡ 3 x + 1 + C = 1 3 n ln ⁡ x 3 + 1 - ln ⁡ 3 x + 1 + C

1 3 ln ⁡ x 3 + 1 n - ln ⁡ 3 x + 1 + C = 1 3 ln ⁡ x 3 + 1 n 3 x + 1 + C

Passo 5

Voltando para o limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b n x 2 x 3 + 1 - 1 3 x + 1 d x = lim b → + ∞ ⁡ 1 3 ln ⁡ x 3 + 1 n 3 x + 1 1 b =

lim b → + ∞ ⁡ 1 3 ln ⁡ b 3 + 1 n 3 b + 1 - 1 3 ln ⁡ 1 3 + 1 n 3 + 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 3 ln ⁡ b 3 + 1 n 3 b + 1 - 1 3 ln ⁡ 2 n 3

Para que a integral seja convergente, precisamos que aquele limite de 0 . Para isso acontecer devemos ter o limite daquela divisão de polinômios dando algum número.

Isso só vai acontecer se eles possuírem o mesmo grau.

Entao, devemos ter

3 n = 1

Porque o grau de cima é 3 . n , porque temos b 3 elevado a n . E o grau de baixo é 1

Logo:

n = 1 3

Passo 6

Vamos resolver aquele limite com calma aqui:

lim b → + ∞ ⁡ b 3 + 1 1 3 3 b + 1

Colocando b 3 em evidência no numerador e b no denominador, vamos ter:

b 3 + 1 1 3 3 b + 1 = b 3 1 + 1 b 3 1 3 b 3 + 1 b = b 1 + 1 b 3 1 3 b 3 + 1 b = 1 + 1 b 3 1 3 3 + 1 b

O limite vai ficar:

lim b → + ∞ ⁡ b 3 + 1 1 3 3 b + 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 + 1 b 3 1 3 3 + 1 b = 1 + 0 1 3 3 + 0 = 1 3

Passo 7

Vamos finalizar com o nosso limite inical:

lim b → + ∞ ⁡ 1 3 ln ⁡ b 3 + 1 n 3 b + 1 - 1 3 ln ⁡ 2 3 3 = 1 3 ln ⁡ 1 3 - 1 3 ln ⁡ 2 3 3 =

1 3 ln ⁡ 1 3 - 1 3 ln ⁡ 8 3 = 1 3 ln ⁡ 1 3 - ln ⁡ 8 3 = 1 3 ln ⁡ 1 3 8 3 = 1 3 ln ⁡ 1 8

Resposta

Converge para n = 3

E o valor da integral vai ser:

1 3 ln ⁡ 1 8

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Encontre a área da região entre o eixo x e a curva y = e - 3 x com x ≥ 0 .
Encontre o comprimento de arco da curva y = 4 - x 2 acima do intervalo 0,2 .
Calcule a integral. ∫ a + ∞ x x 2 + 1 2d x
Calcule a integral. ∫ 0 + ∞ d x a 2 + b 2 x 2a ,b0
Calcule a integral se for convergente. ∫ 0 + ∞ e - x d x