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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 14

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. π ⋅ c o s ( π x )
  2. π 2 ⋅ c o s ( π 2 x )
  3. c o s π 2 x +   π ⋅ c o s ( x )

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o c o s k x que é o caso que temos aqui tem-se a seguinte regra

f x = c o s k x → F x = 1 k ⋅ s e n ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x =   π ⋅ c o s π x → F x = π ⋅ 1 π ⋅ sen ⁡ π x = s e n ⁡ ( π x )

g x = π 2 ⋅ c o s π 2 x → G x = π 2 ⋅ 1 π 2 ⋅ sen ⁡ π x = s e n ⁡ ( π 2 x )

Para a letra C, utilizaremos os resultados obtidos nas alternativas anteriores e obteremos

h x =   c o s π 2 x +   π ⋅ c o s ( x ) →

H x = sen ⁡ π 2 x π 2 + π ⋅ sen ⁡ π x  

H x = 2 π ⋅ sen ⁡ π x +   π ⋅ sen ⁡ x

Passo 3

Conferindo através da derivada vamos ter

F x = s e n ⁡ ( π x ) → F ' x = π ⋅ c o s ( π x )   = f ( x )

G x = sen ⁡ π 2 x → G ' x = π 2 ⋅ s e n ⁡ ( π 2 x ) = g ( x )

H x = 2 π ⋅ sen ⁡ π x +   π ⋅ sen ⁡ x → H ' x =   c o s π 2 x +   π ⋅ c o s ( x )

Resposta

  1. s e n ( π x )
  2. s e n ( π 2 x )
  3. 2 π ⋅ s e n π 2 x +   π ⋅ s e n ( x )
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Encontre f . f ' ' x = 20 x 3 - 12 x 2 + 6 x
Encontre f . f ' ' ( x ) = - 2 + 12 x - 12 x 2 , f 0 = 4 e f ' 0 = 12
Encontre f . f ' ' x = 4 + 6 x + 24 x 2 , f 0 = 3 , f ( 1 ) = 10 .
Encontre f . f ' ' x = x 3 + s e n hx , f 0 = 1 , f ( 2 ) = 2,6 .
Encontre f . f ' ' x = 8 x 3 + 5 ,f 1 = 0 , f ' 1 = 8