Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 43
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Passo 1
Fala, galera! Bora pra mais uma questão?
O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede para a gente encontrar quem é essa função Uma outra informação que temos é:
Para resolver a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva!
Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Dessa forma, vamos precisar encontrar as duas primitivas abaixo:
- Primeiro, a primitiva de ou seja, é tal que
- Segundo, a primitiva de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A primitiva mais geral de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.
Vamos colocar a mão na massa nos próximos passos e encontrar essas primitivas?
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primitiva da função dada:
Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência em cada um dos seus termos:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos , então
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a expressão obtida:
Ótimo! Confirmamos que a função encontrada é mesmo a antiderivada de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a primitiva da função encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência para cada um dos seus termos:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos
então
Conferindo se não fizemos nenhuma besteira:
Está tudo certo! 🎉
Observe que a função encontrada é uma primitiva geral da função , pois como e são quaisquer constantes, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔?
Espia só o próximo passo!
Passo 4
Começamos descobrindo o valor de .
Como , então:
ou seja,
Substituindo , na função temos:
Passo 5
Agora, vamos descobrir o valor de .
Como , e usando a função obtida no passo anterior, então:
ou seja,
Simplificando, temos que:
Assim, a função procurada é dada por:
Achamos a função pedida no enunciado 🤩!
Resposta
A função procurada é dada por: