Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 44
Encontre .
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo certinho?
O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede para a gente encontrar quem é essa função Uma outra informação que temos é:
Para resolver a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva!
Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Se somarmos uma constante qualquer a função , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, uma primitiva mais geral de é dada por
onde é uma constante qualquer.
Dessa forma, para resolver essa questão vamos precisar encontrar as duas primitivas abaixo:
- A primitiva de ou seja, é tal que
- A primitiva de ou seja, é tal que
Vamos colocar a mão na massa nos próximos passos e encontrar essas primitivas?
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primitiva da função dada:
Para a primitiva do termo , vamos usar a Regra da Potência: uma primitiva de uma potência , é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
Além disso, uma primitiva de é , pois
Dessa forma, a primitiva de é dada por:
ou seja,
Não podemos esquecer de somar a constante, combinado?
Passo 3
Agora, vamos calcular a primitiva da função encontrada no passo anterior:
Faremos o mesmo processo que no caso anterior, porém, observe que uma primitiva de é a função , pois
Assim, a primitiva de é dada por:
Simplificando, teremos:
Onde tivemos que novamente somar uma constante para encontrar a primitiva mais geral.
Como e são quaisquer constantes, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔?
Espia só o próximo passo!
Passo 4
Começamos descobrindo o valor de !
Como e , então:
ou seja,
Dessa forma, substituindo , na função temos:
Ainda precisamos descobrir o valor da constante . Bora lá!
Passo 5
Agora, vamos descobrir o valor de !
Como , e usando a função obtida no passo anterior, então:
ou seja,
Usando que e que
ou seja,
Agora achamos completinha:
Resposta
A função procurada é dada por: