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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 27

Use o método de Newton para determinar as raízes de f ( x )   =   4 x 4   -   4 x 2 usando os valores iniciais fornecidos.

  1. x o   =   - 2 e x o   =   - 0,8 , situadas em - ∞ ,   - 2 2
  2. x 0   =   -   0,5 e x 0   =   0,25 , situadas em - 21 7 , 21 7
  3. x o   =   0,8 e x o   =   2 , situadas em 2 2 ,   ∞
  4. x o   =   - 21 7 e x o   = 21 7

Passo 1

Para encontrarmos os valores aproximados dessas raízes vamos utilizar o método de Newton para aproximação que pode ser resumido pela seguinte fórmula

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Com as aproximações dadas em cada item para os valores iniciais.

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar a função a fim de poder substituir na nossa fórmula. Dessa forma,

f x =   4 x 4   -   4 x 2 → f x = 16 x 3 - 8 x  

Então, para esse caso, vamos ter a fórmula do método de Newton escrita da seguinte forma

x n + 1 = x n - 4 x n 4   -   4 x n 2 16 x n 3 - 8 x n

x n + 1 = x n - 4 ⋅ ( x n 4   -   x n 2 ) 4 ⋅ ( 4 x n 3 - 2 x n )

x n + 1 = x n - x n 4   -   x n 2 4 x n 3 - 2 x n

Passo 3

Tomando como pontos iniciais x o   =   - 2 e x o   =   - 0,8 vamos obter

Para x o   =   - 2

x 0 + 1 = x 0 - x 0 4   -   x 0 2 4 x 0 3 - 2 x 0

x 1 = - 2 - ( - 2 ) 4   -   ( - 2 ) 2 4 ⋅ ( - 2 ) 3 - 2 ⋅ ( - 2 )

x 1 = - 2 - 16   -   4 - 32 + 4

x 1 = - 2 - 12 - 28

x 1 = - 2 + 12 28

x 1 ≈ - 1.57143

Para x o   =   - 0.8

x 0 + 1 = x 0 - x 0 4   -   x 0 2 4 x 0 3 - 2 x 0

x 1 = - 0.8 - ( - 0.8 ) 4   -   ( - 0.8 ) 2 4 ⋅ ( - 0.8 ) 3 - 2 ⋅ ( - 0.8 )

x 1 ≈ 1.314286  

Passo 4

Para todas as alternativas seguintes o procedimento usado vai ser o mesmo do passo anterior com a diferença dos pontos iniciais usados em cada alternativa. Dessa forma vamos ter para x 0 =   - 0.5

x 1 = x 0 - x 0 4   -   x 0 2 4 x 0 3 - 2 x 0

x 1 = - 0.5 - ( - 0.5 ) 4   -   ( - 0.5 ) 2 4 ⋅ ( - 0.5 ) 3 - 2 ⋅ ( - 0.5 )

x 1 = - 0.125

Para x 0 =   0.25

x 1 = x 0 - x 0 4   -   x 0 2 4 x 0 3 - 2 x 0

x 1 = 0.25 - ( 0.25 ) 4   -   ( 0.25 ) 2 4 ⋅ ( 0.25 ) 3 - 2 ⋅ ( 0.25 )

x 1 ≈ 0.116071

Passo 5

Utilizando o mesmo procedimento das alternativas anteriores na letra c, vamos obter para x 0 =   0.8

x 1 = x 0 - x 0 4   -   x 0 2 4 x 0 3 - 2 x 0

x 1 = 0.8 - ( 0.8 ) 4   -   ( 0.8 ) 2 4 ⋅ ( 0.8 ) 3 - 2 ⋅ ( 0.8 )

x 1 ≈ 1.314286

Para x 0 =   2

x 1 = 2 - ( 2 ) 4   -   ( 2 ) 2 4 ⋅ ( 2 ) 3 - 2 ⋅ ( 2 )

x 1 ≈ 1,57143

Passo 6

Por fim, para a letra d, vamos utilizar novamente o mesmo procedimento com seus devidos valores iniciais e obteremos para x 0   =   - 21 7 →   x 1 = 21 7 ≈ 0.654654 e para x 0   = 21 7 →   x 1 = - 21 7 ≈ - 0.654654

Resposta

(A) s e   x 0   =   - 2 →   x 1 ≈ - 1.57143 ,     x 0   =   - 0.8 →   x 1 ≈ 1.314286

(B) s e   x 0   =   - 0.5 →   x 1 = - 0.125 ,   x 0 = 0.25 →   x 1 ≈ 0.116071

(C) s e   x 0   =   0.8 →   x 1 ≈ 1.314286   ,   x 0 = 2 →   x 1 ≈ 1,57143

(D)   s e   x 0   =   - 21 7 →   x 1 = 21 7 ,   x 0 = 21 7 → x 1 = - 21 7  

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