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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 13

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. - π ⋅ s e n ( π x )
  2. 3 s e n x
  3. s e n π x - 3 ⋅ s e n   3 x

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o s e n k x que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = s e n k x → F x = - 1 k ⋅ c o s ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x =   - π ⋅ s e n π x → F x = - π ⋅ - 1 π ⋅ cos ⁡ π x = c o s ⁡ ( π x )

g x = 3 s e n x → G x = 3 ⋅ - 1 1 ⋅ cos ⁡ x =   - 3 c o s ⁡ ( x )

Para a letra C, utilizaremos os resultados obtidos nas alternativas anteriores e obteremos

h x =   s e n π x - 3 ⋅ s e n   3 x →

H x = - 1 π ⋅ cos ⁡ π x - 3 ⋅ - 1 3 ⋅ cos ⁡ 3 x  

H x = - 1 π ⋅ cos ⁡ π x +   c o s ⁡ ( 3 x )

Passo 3

Conferindo através da derivada vamos ter

F x = cos ⁡ π x → F ' x = - π ⋅ s e n ( π x )   = f ( x )

G x = - 3 cos ⁡ x → G ' x = - - 3 ⋅ s e n ( x ) = g ( x )

H x = - 1 π ⋅ cos ⁡ π x +   c o s ⁡ ( 3 x ) → H ' x =   s e n π x - 3 ⋅ s e n   3 x

Resposta

  1. c o s ( π x )
  2. - 3 c o s x
  3. - c o s π x π + c o s   3 x
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