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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 18

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

g v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi pedido para calcularmos a antiderivada da função

g v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

E verificar a resposta derivando.

Parece complicado?

Vamos lá, sabemos que uma função G é chamada de antiderivada de g se:

G ' v = g v

Para a nossa sorte, tem algumas regrinhas que podemos seguir em g para obter sua antiderivada. Por exemplo:

cos ⁡ x → sin ⁡ x

1 1 - x 2 → arcsin ⁡ x

Vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos obter a antiderivada de cada termo de g separadamente...

Para 2 cos ⁡ v , temos, pela regra que vimos no passo 1…

2 cos ⁡ v → 2 sin ⁡ v

Já para o termo 3 1 - v 2 podemos aplicar a ouotra regra que vimos no passo 1.

3 1 - v 2 → 3 arcsin ⁡ v

Juntando tudo em uma função...

G v = 2 sin ⁡ v - 3 arcsin ⁡ v + C

Onde C é uma constante que temos que acrescentar sempre que fazemos esse tipo de cálculo.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para verificar nossa resposta, vamos derivar G ...

Pelo Teorema Fundamental do Calculo, temos que

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

d arcsin ⁡ x d x = 1 1 - x 2

Portanto...

G ' v = 2 cos ⁡ v - 3 ⋅ 1 1 - v 2 + 0

G ' v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

Como G ' = g , G é a antiderivada de g .

Pronto, tá tudo certo! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

G v = 2 sen ⁡ v - 3 arcsen ⁡ v + C

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