Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ 2 1 - y 2 - 1 y 1 4 d y

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

Então, para o caso das primitivas, podemos simplesmente usar as regras da derivada ao contrário. Nesse caso trabalharemos usando funções trigonométricas inversas e expoentes.

Passo 2

Separando em integrais diferentes e tirando as constantes, teremos:

2 ∫ 1 1 - y 2 d y - ∫ y - 1 4   d y

Solucionando as primitivas, temos:

2 arcsen ⁡   y - y 3 4 3 4 + C = 2 arcsen ⁡ y - 4 3 y 3 4 + C

Não esquecendo de somar a constante de integração.

Passo 3

Derivando para tirarmos a prova real, temos:

2 × 1 1 - y 2 - 4 3 × 3 4 y - 1 4 + 0 = 2 1 - y 2 - y - 1 4

Resposta

2 arcsen ⁡ y - 4 3 y 3 4 + C

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