Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.

  1. ∫ x sen ⁡ x   d x = x 2 2 sen ⁡ x + C
  2. ∫   x sen ⁡ x   d x = - x cos ⁡ x + C
  3. ∫ x sen ⁡ x   d x = - x cos ⁡ x + sen ⁡ x + C

Passo 1

Para conferirmos se a solução atende a equação, derivaremos a resposta dada e veremos se corresponde à expressão.

Passo 2

Solucionando o item a:

Derivando a primeira equação pela regra do produto, teremos:

2 x 2 sen ⁡ x + x 2 2 - cos ⁡ x + 0

Simplificando:

x sen ⁡ x - x 2 cos ⁡ x 2

A solução dada não satisfaz a integral.

Passo 3

Solucionando o item b:

Derivando a segunda equação pela regra do produto, teremos:

- 1 cos ⁡ x + - x - sen ⁡ x + 0

Simplificando, temos:

- cos ⁡ x + x sen ⁡ x

A solução dada não satisfaz a integral.

Passo 4

Solucionando o item c:

Derivando a terceira equação pela regra do produto e aproveitando a solução do passo anterior, teremos:

- cos ⁡ x + x sen ⁡ x + cos ⁡ x + 0

x sen ⁡ x

Que satisfaz a solução do problema.

Resposta

A resposta do item c é a única que satisfaz a integral dada.

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