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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 7

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo isso é correr pro abraço...

Temos a = t , t 2 , t 3 = t i + t 2 j + t 3 k b = 1,2 t , 3 t 2 = 1 i + 2 t j + 3 t 2 k   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k t t 2 t 3 1 2 t 3 t 2 =

= i ∙ t 2 ∙ 3 t 2 + j ∙ t 3 ∙ 1 + k ∙ t ∙ 2 t - i ∙ 2 t ∙ t 3 + j ∙ t ∙ 3 t 2 + k ∙ t 2 ∙ 1 =

= 3 t 4 i + t 3 j + 2 t 2 k - 2 t 4 i - 3 t 3 j - t 2 k =

= t 4 i - 2 t 3 j + t 2 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a × b a cos ⁡ α

a × b ∙ a = t 4 , - 2 t 3 , t 2 ∙ t , t 2 , t 3 =

= t 4 ∙ t + - 2 t 3 ∙ t 2 + t 2 ∙ t 3 = 0

Passo 3

Temos que a × b = ( t 4 ) 2 + ( - 2 t 3 ) 2 + ( t 2 ) 2 = t 8 + 4 t 6 + t 4 a = t 2 + ( t 2 ) 2 + ( t 3 ) 2 = t 6 + t 4 + t 2 ; sabemos que:

a × b ∙ a = t 8 + 4 t 6 + t 4 ∙ t 6 + t 4 + t 2 cos ⁡ α 0 →

→ t 8 + 4 t 6 + t 4 ∙ t 6 + t 4 + t 2 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = t 4 , - 2 t 3 , t 2 ∙ 1,2 t , 3 t 2 =

= t 4 ∙ 1 + - 2 t 3 ∙ 2 t + t 2 ∙ 3 t 2 = 0

Passo 5

Temos que a × b = ( t 4 ) 2 + ( - 2 t 3 ) 2 + ( t 2 ) 2 = t 8 + 4 t 6 + t 4 a = 1 2 + ( 2 t ) 2 + ( 3 t 2 ) 2 = 9 t 4 + 4 t 2 + 1 ; sabemos que:

a × b ∙ a = t 8 + 4 t 6 + t 4 ∙ 9 t 4 + 4 t 2 + 1 cos ⁡ α 0 →

→ t 8 + 4 t 6 + t 4 ∙ 9 t 4 + 4 t 2 + 1 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

= t 4 i - 2 t 3 j + t 2 k

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Efetuard) vec i . ( vec j xx vec k )
Dados os pontos A ( 2 , 1 , - 1 ) , B ( 3 , 0 , 1 ) e C ( 2 , - 1 , - 3 ) , determinar o ponto D tal que vec A D = vec B C xx vec A C .
Efetuari) ( vec i xx vec j ) xx vec k
Resolver os sistemasb) {[[vec x xx ( 2 vec i - vec j + 3 vec k ) = vec 0],[vec x . (vec i + 2 vec j - 2 vec k) = 1 2]])
Resolver os sistemasa) {[[vec x xx vec j = vec k],[vec x . (4 vec i - 2 vec j + vec k) = 10]])