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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 16

Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a i + j + k   quanto a 2 i + k .

Passo 1

Nesse exercício temos que ter em mente os seguintes conceitos: o quê é um vetor unitário (vetor unitário é todo vetor que tem seu módulo igual à 1) e qual o critério de ortogonalidade entre vetores? Para ser ortogonal basta que o produto escalar seja 0 já que o produto escalar é determinado a partir o cos ⁡ α já que a ∙ b = a b cos ⁡ α

Vamos chamar o vetor que queremos descobrir de a . Já que sabemos que o vetor a é unitário temos que:

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1

Passo 2

Agora vamos analisar o critério de ortogonalidade entre o vetor a e o vetor b = i + j + k e com o vetor c = 2 i + k . Vimos acima a condição de ortogonalidade, então mãos a obra. Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 , a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 , b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Passo 3

Usando a informação acima temos que:

a ∙ b = a 1 1 + a 2 1 + a 3 1 = a 1 + a 2 + a 3 a ∙ c = a 1 2 + a 2 0 + a 3 1 = 2 a 1 + a 3

Mas como eles são ortogonais o produto escalar tem que dar 0 .

a ∙ b = a 1 + a 2 + a 3 = 0 a ∙ c = 2 a 1 + a 3 = 0 → 2 a 1 = - a 3

Substituindo 2 a 1 = - a 3 na equação a 1 + a 2 + a 3 = 0 temos que:

a 1 + a 2 + - 2 a 1 = 0

a 1 = a 2

Passo 4

Substituindo os dados encontrados nas equações que temos:

a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = a 1 2 + a 1 2 + - 2 a 1 2 = 6 a 1 = 1

a 1 = ± 6 6

Para a 1 = 6 6 :

a = 6 6 i + 6 6 j - 6 3 k

Para a 1 = - 6 6 :

b = - 6 6 i - 6 6 j + 6 3 k

Resposta

a = 6 6 i + 6 6 j - 6 3 k

b = - 6 6 i - 6 6 j + 6 3 k

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Efetuare) (3 vec i) xx ( 2 vec j )
Determinar o vetor vec x tal que vec x . (1 , 4 , - 3) = - 7 e vec x xx (4 , - 2 , 1) = ( 3 , 5 , - 2 ) .
Dados os vetores vec u = (3 , 1 , 1) , vec v = ( - 4 , 1 , 3 ) e vec w = ( 1 , 2 , 0 ) , determinar vec x de modo que vec x _|_ vec w e vec x xx vec u = vec v .
Efetuarh) vec j . ( vec j xx vec k )
Considerando a Figura 3.13, calcularb) vec A C xx vec F A