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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 3

Dados os pontos A ( 2 , 1 , - 1 ) , B ( 3 , 0 , 1 ) e C ( 2 , - 1 , - 3 ) , determinar o ponto D tal que vec A D = vec B C xx vec A C .

Passo 1

Vamos chamar o ponto D de D = ( x , y , z ) pode ser?

Vamos encontrar os vetores que o enunciado fala:

vec A D = D - A = (x , y , z) - (2 , 1 , - 1)

vec B C = C - B = (2 , - 1 , - 3) - (3 , 0 , 1) = ( - 1 , - 1 , - 4 )

vec A C = C - A = (2 , - 1 , - 3) - (2 , 1 , - 1) = ( 0 , - 2 , - 2 )

Agora vamos colocar a mão na massa!!

Passo 2

Queremos encontrar D tal que vec A D = vec B C xx vec A C . O produto vetorial vec B C xx vec A C é dado pelo determinante:

|[[vec i,vec j,vec k],[-,1,-,1,-,4],[0,-,2,-,2]]| = - 6 vec i - 2 vec j + 2 vec k

Então, vec B C xx vec A C = ( - 6 , - 2 , 2 ) .

Agora queremos que vec A D = vec B C xx vec A C , ou seja:

(x , y , z) - (2 , 1 , - 1) = ( - 6 , - 2 , 2 )

Passando o vetor ( 2 , 1 , - 1 ) pro lado direito com sinal positivo, temos

(x , y , z) = (- 6 , - 2 , 2) + ( 2 , 1 , - 1 )

(x , y , z) = ( - 4 , - 1 , 1 )

Então, o ponto D que satisfaz nossas condições é ( - 4 , - 1 , 1 ) .

Resposta

( - 4 , - 1 , 1 )

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