Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 4a

Determine o raio de curvatura das seguintes curvas no espaço:

a   σ t = 4 cos ⁡ t ,   4 s e n t , 4 cos ⁡ t .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Além disso, considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ t = 1 k t

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada. Então, derivando-a, teremos:

σ ' t = - 4 s e n t , 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t

Tal que:

v t = σ ' t = - 4 s e n t 2 + 4 cos ⁡ t 2 + - 4 s e n t 2

v t = 16 s e n 2 t + 16 cos 2 ⁡ t + 16 s e n 2 t

Juntando o termo comum:

v t = 16 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Lembrando da identidade trigonométrica:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Temos:

v t = 4 1 + s e n 2 t

Derivando novamente:

σ ' ' t = - 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t ,   - 4 cos ⁡ t

Passo 3

A partir da equação da curvatura dada, temos que:

k t = - 4 s e n t , 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t × - 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t ,   - 4 cos ⁡ t 4 1 + s e n 2 t 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

- 4 s e n t , 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t × - 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t ,   - 4 cos ⁡ t = i j k - 4 cos ⁡ t - 4 s e n t - 4 cos ⁡ t - 4 s e n t 4 cos ⁡ t - 4 s e n t

Isso resulta em:

= 16 s e n 2 t + 16 cos 2 ⁡ t i + 16 s e n t cos ⁡ t - 16 s e n t cos ⁡ t j + - 16 cos 2 ⁡ t - 16 s e n 2 t k

Ou:

= 16 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t i - 16 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t k

Com a identidade trigonométrica mostrada antes:

= 16 i - 16 k

Esse resultado pode ser denotado como o vetor:

- 4 s e n t , 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t × - 4 cos ⁡ t ,   - 4 s e n t ,   - 4 cos ⁡ t = 16 ,   0 ,   - 16

Assim:

k t = 16 ,   0 ,   - 16 4 1 + s e n 2 t 3

Passo 4

Calculando o módulo do vetor do numerador:

k t = 16 2 + - 16 2 4 1 + s e n 2 t 3 = 16 2 4 1 + s e n 2 t 3

Logo:

k t = 2 4 1 + s e n 2 t 3

Passo 5

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ t = 1 k t = 1 2 4 1 + s e n 2 t 3

Logo:

ρ t = 4 1 + s e n 2 t 3 2

Pelos métodos de radiciação, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por 2 para tirá-la do denominador. Com isso:

ρ t = 4 1 + s e n 2 t 3 2 2 2

Portanto:

ρ t = 2 2 1 + s e n 2 t 3

Resposta

ρ t = 2 2 1 + s e n 2 t 3

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