Determine uma representação paramétrica para a superfície.

O plano que passa pelo ponto (0, -1,5) e contém os vetores (2,1, 4) e (-3,2, 5)

Passo 1

Fala, galera! 😊

Essa questão pede pra gente determinar uma representação paramétrica para a superfície definida por um plano que passa pelo ponto 0 , - 1,5 e contém os vetores 2,1 , 4 e - 3,2 , 5 .

Vamos lembrar que, para escrevermos a equação paramétrica de uma reta, precisamos sempre de pelo menos um ponto e um vetor. Quando essa representação se expande para o plano, passamos a necessitar de agora um ponto e dois vetores, chamados de vetores diretores.

Desta forma representamos a equação paramétrica de um plano como

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + γ u → + λ v →

Passo 2

O enunciado já nos dá todas as informações que precisamos.

O plano deve passa pela origem e contém os vetores

u → = ( 2,1 , 4 )

v → = ( - 3,2 , 5 )

Com isso podemos escrever

x , y , z = 0 , - 1,5 + γ 2,1 , 4 + λ ( - 3,2 , 5 )

Agora queremos escrever a equação geral para esse plano. Então

i   x = 2 γ - 3 λ

i i   y =   - 1 +   γ + 2 λ

i i i   z =   5 + 4 γ + 5 λ

Passo 3

Precisamos saber que é γ e λ em função de x e y e posteriormente substituir em z .

i   γ = x + 3 λ 2

i i   y =   - 1 + x + 3 λ 2 + 2 λ

- 2 + x + 3 λ + 4 λ = 2 y

λ = 2 y - x + 2 7

Agora

i   γ = x + 3 λ 2

Substituindo em λ :

γ = x + 3 2 y - x + 2 7   2

γ = 7 x + 6 y - 3 x + 6 14

γ = 2 x + 3 y + 3 7

Por fim

i i i   z = 5 + 4 γ + 5 λ

Substituindo as equações anteriores nessa aqui:

z = 5 + 4 2 x + 3 y + 3 7 + 5 2 y - x + 2 7

Organizando...

z = 35 + 8 x + 12 y + 12 + 10 y - 5 x + 10 7

z = 3 x + 22 y + 57 7

3 x + 22 y - 7 z + 57 = 0

Resposta

3 x + 22 y - 7 z + 57 = 0

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