Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado

x = raiz(t)

y = t^2 - 2t

t = 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade aqui.

A gente tem a curva parametrizada:

x = t  

y = t 2 - 2 t

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Temos uma curva parametrizada, ela é uma função em função de outra função.

Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x ⋅ d t d t  

d y d x = d y d t ⋅ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Use a forma que achar melhor e que for mais fácil para resolver a nossa equação.

A equação da reta tangente a uma curva é:

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é o coeficiente linear da reta, e é dado por:

m = d y d x  

Já os pontos x 0 e y 0 , são os pontos de tangencia e costumam ser dados no enunciado, aqui eles são encontrados substituindo t nas equações de x e y .

Passo 2

Beleza, então temos essas equações

x = t  

y = t 2 - 2 t

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 - 2 t       d d t t

Passo 3

Então nossa derivada fica:

d y d x = d d t t 2 - 2 t       d d t t

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

d y d x = 2 t - 2 1 2 t

d y d x = 4   ( t ) ( t - 1 )

Passo 4

Agora vamos aplicar nosso ponto para descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto:

d d x f 4 =   4   4 4 - 1

d d x f 4 = 4 2 3  

d d x f 4 = 24

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = m x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. Como t =   4 é só a gente plotar esse número nas nossas equações para x e y

x = t  

y = t 2 - 2 t

Então fica :

x 4 = 4

x 4 = 2

y 4 = 4 2 - 2 ⋅ 4

y 4 = 8

Então

x 0 ,   y 0 = 4,8

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = m x - x 0

y - 8 = 24 x - 4

Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

y - 8 = 24 x - 4

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