Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 1
Determine se os pontos estão na superfície dada.
Passo 1
Pessoal, precisamos determinar se os pontos dados estão na superfície indicada por , certo?
Uma maneira de sabermos isso é igualando os valores dos pontos com as coordenadas da superfície.
Então nós iremos fazer isso para os pontos que corresponde a Isso vai nos gerar um sistema de equações simples, que teremos que resolver , beleza?
Show, fazendo isso teremos o valor de . Porém para termos certeza que os pontos pertencem a superfície precisamos fazer mais uma passo.
Iremos igualar agora o valor do ponto que corresponde a a coordenada da superfície.Isso vai nos dar uma equação.
Lembra de que achamos em um passo anterior? Então, iremos substituir esses valores nessa nova equação. Se a sentença for verdadeira, então o ponto está na superfície.
Vamos começar então !!!
Passo 2
Vamos começar por P , sabemos que seu pontos serão :
Podemos dizer que a nossa superfície irá corresponder os pontos da seguinte forma:
logo podemos igualar cada ponto com o valor da superfícies da seguinte forma :
Beleza, mas vamos lembrar que iremos resolver o sistema apenas para nessa primeira parte , ok? Vai ficar assim :
Vamos multiplicar a primeira equação por .
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação do sistema, temos:
Por fim, vamos substituir os valores de e na equação:
Como a equação foi satisfeita, podemos afirmar que o ponto está na superfície!
Passo 3
Para o Q faremos a mesmo coisa, sabemos que seus pontos são :
Já sabemos que :
logo podemos igualar cada ponto com o valor da superfícies da seguinte forma :
Vamos resolver o sistema nas equações e
Da primeira equação podemos tirar que . Substituindo na segunda, teremos:
Como ,
Por fim, vamos substituir os valores de e equação :
Como os valores de e não satisfazem a equação, podemos afirmar que o ponto não está na superfície indicada.
Resposta
O ponto está na superfície e o ponto não está na superfície.