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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 24

Determine uma reta tangente ao gráfico de y = 1 - x 2 , de modo que a distância da origem a ela seja a menor possível.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Essa questão já começa pedindo para encontrarmos uma reta tangente. Para quem não lembra, ela tem essa cara aqui

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Supondo que essa reta tangente corte um determinado ponto p (ou seja, x 0 = p ) ficamos com

y - 1 - p 2 = f ' p x - p

Achando a derivada de f ' x , ficamos com,

f ' x = - 2 x

Logo,

f ' p = - 2 p

E a nossa equação da reta tangente ficará assim,

y = - 2 p x + 1 + p 2

Nosso objetivo é encontrar que valor de p faz com que a distância dessa reta até a origem seja a menor possível!

Passo 2

Agora, vamos lembrar que se uma reta tem equação a y + b x + c = 0 e um ponto tem coordenadas ( x ,   y ) , a fórmula para distância entre ponto e reta é:

d = a x + b y + c a 2 + b 2

No nosso caso, temos a equação de reta y + 2 p x - 1 - p 2 = 0 e o ponto é a origem 0 ,   0 , de modo que a fórmula nos dará:

d = 1 0 + 2 p 0 - 1 - p 2 1 2 + 2 p 2

d p = 1 + p 2 1 + 4 p 2

Assim, vamos procurar minimizar a função d p .

Passo 3

Para minimizar essa função, derivamos d p e igualamos a zero:

d ' p = 2 p 1 + 4 p 2 - 1 + p 2 4 p 1 + 4 p 2 1 + 4 p 2 = 0

2 p 1 + 4 p 2 - 4 p 1 + p 2 = 0

2 p + 8 p 3 - 4 p - 4 p 3 = 0

2 p 3 - p = 0

p = 0           o u           p = ± 2 2

Então acabamos de achar os pontos críticos da função d p .

Passo 4

Testamos esses valores na função d p :

d 0 = 1

d ± 2 2 = 1 + 1 2 1 + 4 1 2 ≈ 0,87

Logo, a reta que tem a menor distância até a origem será:

y = - 2 p x + 1 + p 2

com p = ± 2 2 .

Resposta

y = - 2 p x + 1 + p 2 com p = ± 2 2

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