Determine r = r(t) sabendo que

d(r)/d(t) = 1 / (1 + 4*t^2) i + e^(-t) j + k e r(0) = k

Passo 1

Temos então vec r^' , vamos integrar cada coordenada para achar vec r ( t ) .

Primeiro a coordenada x

x (t) = int (1)/(1 + 4 t^2) d t

Fazendo a substituição

{[[u = 2 t => u^2 = 4 t^2],[d u = 2 d t]])

int (1)/(1 + 4 t^2) d t = (1)/(2) int (d u)/(1 + u^2)

= (1)/(2) arctg u + C_x

x (t) = (1)/(2) arctg 2 t + C_x

Agora a coordenada y

y (t) = int e^(- t) d t = - e^(- t) + C_y

E por fim a coordenada z

z (t) = int d t = t + C_z

Temos então o vetor

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t + C_x , - e^(- t) + C_y , t + C_z)

Passo 2

Para encontrar as constantes, usamos a condição inicial vec r (0) = vec k , substituindo então t = 0

vec r ( t ) = (C_x , - 1 + C_y , C_z) = (0,0 , 1)

Podemos então encontrar as constantes

C_x = 0

- 1 + C_y = 0 => C_y = 1

C_z = 1

E o vetor que buscamos é

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t , 1 - e^(- t) , t + 1)

Resposta

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t , 1 - e^(- t) , t + 1)

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