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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 12c

Determine vec r = vec r (t) sabendo que

(d vec r)/(d t) = (1)/(1 + 4 t^2) vec i + e^(- t) vec j + vec k e vec r (0) = vec k

Passo 1

Temos então vec r^' , vamos integrar cada coordenada para achar vec r ( t ) .

Primeiro a coordenada x

x (t) = int (1)/(1 + 4 t^2) d t

Fazendo a substituição

{[[u = 2 t => u^2 = 4 t^2],[d u = 2 d t]])

int (1)/(1 + 4 t^2) d t = (1)/(2) int (d u)/(1 + u^2)

= (1)/(2) arctg u + C_x

x (t) = (1)/(2) arctg 2 t + C_x

Agora a coordenada y

y (t) = int e^(- t) d t = - e^(- t) + C_y

E por fim a coordenada z

z (t) = int d t = t + C_z

Temos então o vetor

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t + C_x , - e^(- t) + C_y , t + C_z)

Passo 2

Para encontrar as constantes, usamos a condição inicial vec r (0) = vec k , substituindo então t = 0

vec r ( t ) = (C_x , - 1 + C_y , C_z) = (0,0 , 1)

Podemos então encontrar as constantes

C_x = 0

- 1 + C_y = 0 => C_y = 1

C_z = 1

E o vetor que buscamos é

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t , 1 - e^(- t) , t + 1)

Resposta

vec r ( t ) = ((1)/(2) arctg 2 t , 1 - e^(- t) , t + 1)

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Calcule d F → d t e d 2 F → d t 2 . F → t = t 2 3i → + cos ⁡ t 2 j → + 3 tk →
Seja F definida no intervalo I e com valores em R n . Suponha que F ' t = 0 → para todo t em I . Prove que existe uma constante k = k 1 , k 2 , … , k n ∈ R n tal que F t = k para todo t em I .
Suponha u → ρ θ = cos ⁡ θ i → + sen ⁡ θ j → , u → θ θ = - sen ⁡ θ i → + cos ⁡ θ j → e r → t = ρ tu → ρ θ ( t ) , com θ = θ t e ρ = ρ t deriváveis até a 2ª ordem num intervalo I . Notação: ρ ˙ = d ρ d
Seja r → : I → R 3 , I intervalo, derivável até a 2ª ordem. Suponha que r → ( t ) forneça a posição, no instante t , de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade v → ( t ) e a aceleraçã