Seja F definida no intervalo I e com valores em R^n . Suponha que F' (t) = 0 → para todo t em I . Prove que existe uma constante k = (k1, k2, ..., kn) ∈ R^n tal que F(t) = k para todo t em I .

Passo 1

No enunciado foi dado que F ' t = 0 → , se isso for verdade então supondo que F t = F 1 , F 2 , … , F n temos que

F i ' = 0   , i = 1,2 , … , n

Ou seja, a derivada de cada coordenada é igual a zero.

Queremos buscar a função F ( t ) através de sua derivada, se pegarmos coordenada por coordenada, podemos integrar e encontrar cada coordenada de F t .

Então vamos integrar genericamente

∫ F i '   d t = ∫ 0   d t

A integral indefinida de 0 é uma constante, como estamos integrando uma função genérica, dependendo do valor de i essa constante pode mudar, então vamos dizer que a resposta é uma constante genérica com um índice i .

∫ F i '   d t = k i ,     k i ∈ R , i = 1,2 , … , n

Então podemos dizer que

F t = k 1 , k 2 , … , k n

F t = k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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