Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas

a) f(x) = 4x, g(x) = 1 / 4 x

b) f(x) = 3x + 1, g(x) = 3x - 1

c) f(x) = raiz[3](x - 2), g(x) = x^3 + 2

d) f(x) = x^4, g(x) = raiz(4)(x)

Passo 1

Fala povo, tudo tranquilo? Bora falar de funções inversas. Pra gente inverter uma função, temos esses passos:

  • y = f x
  • f y = x
  • f - 1 x = y
  • Passo 1: Escrever y como uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que ele passe a ser escrito como uma função de y
  • Passo 3: Trocar x , y de lado. Sua nova função de x será a função inversa

Vamos fazer isso então com todas as letras primeiro e depois checar se elas batem com g x , beleza?

Passo 2

Letra a)   f x = 4 x

Seja:

y = 4 x

Isolando x , vamos ter:

x = y 4

Trocando as variáveis de lugar:

y = x 4

f - 1 x = x 4

Letra b)   f x = 3 x + 1

Seja:

y = 3 x + 1

Isolando x , vamos ter:

3 x = y - 1

x = y - 1 3

Trocando as variáveis de lugar:

y = x - 1 3

f - 1 x = x - 1 3

Letra c)   f x = x - 2 3

Seja:

y = x - 2 3

Isolando x , vamos ter:

y = x - 2 1 3

y 3 = x - 2 1 3 3

y 3 = x - 2 1 3 ∙ 3 = x - 2 1 = x - 2

y 3 + 2 = x

Trocando as variáveis de lugar:

x 3 + 2 = y

f - 1 x = x 3 + 2

Letra d)   f x = x 4

Seja:

y = x 4

Isolando x , vamos ter:

± y 4 = x 4 4

x = ± y 4

Trocando as variáveis de lugar:

y = ± x 4

f - 1 x = ± x 4

Passo 3

Agora vamos ver em quais casos a inversa ta batendo. Do nosso enunciado:

a )   f - 1 x = x 4 ,     g x = 1 4 x

b )   f - 1 x = x - 1 3 ,     g x = 3 x - 1

c )   f - 1 x = x 3 + 2 ,     g x = x 3 + 2

d )   f - 1 x = ± x 4 ,     g x = x 4

Pô galera, f - 1 x = g x só nas letras a , c ! O caso d é curioso, porque quando fazemos nosso passo a passo, acabamos nos deparando com um f - 1 x que só funciona se juntarmos dois pedaços: o positivo e o negativo de x 4 . Portanto considerar somente o pedaço positivo não nos dá a inversa de f !

Fechada a questão! Bora pra próxima?

Resposta

A função g x apresentada só é inversa da f x apresentada nas letras a e c .

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