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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1b

Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x 0 dado.

f x = e x e x 0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 2 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada segunda de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = e x → f 0 = e 0 = 1

f ' x = f ' e x = e x → f ' 0 = e 0 = 1

f ' ' x = f ' ' e x = e x → f ' ' 0 = e 0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 = 1 + 1 x - 0 + 1 2 x - 0 2 = 1 + x + x 2 2

Resposta

P x = 1 + x + x 2 2

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