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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 81

Determine d r // d s da seguinte expressão r c o s ( 2 s ) + s e n^2 ( s ) = pi

Passo 1

Para obtermos d r // d s , derivamos em s ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d s) [ r c o s ( 2 s ) + s e n^2 ( s ) ] = (d)/(d s) ( pi )

Passo 2

Aplicamos a regra da homogeneidade no primeiro termo a esquerda, a regra da cadeia da função trigonométrica no segundo. Derivamos o termo constante pi a direita, dando zero. Assim:

[ (d r)/(d s) c o s ( 2 s ) + r (d)/(d s) c o s ( 2 s ) + 2 s e n^() ( s ) c o s ( s ) ] = 0

O primeiro termo a esquerda apresenta a derivada implícita de (d r)/(d s) .

Passo 3

Derivamos o segundo termo a esquerda da função trigonométrica c o s ( 2 s ) , aplicando aqui uma regra da cadeia. Logo:

[ (d r)/(d s) c o s ( 2 s ) - 2 r s e n ( 2 s ) + 2 s e n^() ( s ) c o s ( s ) ] = 0

Isolando (d r)/(d s) , teremos:

(d r)/(d s) c o s ( 2 s ) = + 2 r s e n ( 2 s ) - 2 s e n^() ( s ) c o s ( s ) -> (d r)/(d s) = (2 r s e n ( 2 s ) - 2 s e n^() ( s ) c o s ( s ))/(c o s ( 2 s ))

Passo 4

Contudo, sabendo que:

2 s e n^() ( s ) c o s ( s ) =sen(2s)

Teremos:

(d r)/(d s) = (2 r s e n ( 2 s ) - s e n ( 2 s ))/(c o s ( 2 s )) -> (d r)/(d s) = (2 r s e n ( 2 s ))/(c o s ( 2 s )) - (s e n ( 2 s ))/(c o s ( 2 s ))

Passo 5

Temos que:

(s e n ( 2 s ))/(c o s ( 2 s )) = t g ( 2 s )

Então:

(d r)/(d s) = 2 r * t g ( 2 s ) - t g ( 2 s )

Resposta

Pondo o termo t g ( 2 s ) em evidência teremos o resultado como:

(d r)/(d s) = t g ( 2 s ) ( 2 r - 1 )

Reparemos que os procedimentos a partir do passo 4, foram apenas operações para que chegássemos na resposta correta.

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