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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 27

Use diferenciação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado e verifique se sua resposta está de acordo com o gráfico.

2 x 2 + y 2 2 = 25 ( x 2 - y 2 ) ; ( 3,1 ) [lemniscata]

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando nossa equação:

2 x 2 + y 2 2 = 25 ( x 2 - y 2 )

→ 4 x 2 + y 2 2 x + 2 y d y d x = 25 2 x - 2 y d y d x

→ 8 y x 2 + y 2 + 50 y d y d x = 50 x - 8 x x 2 + y 2

→ d y d x = - 50 x - 8 x ( x 2 + y 2 ) 50 y + 8 y ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Belezinha, agora vamos calcular a inclinação no ponto 3,1 , com a nossa derivada:

d y d x = - 50 x - 8 x ( x 2 + y 2 ) 50 y + 8 y ( x 2 + y 2 )

→ d y d x = - 50 ( 3 ) - 8 x 3 2 + 1 2 50 ( 1 ) + 8 ( 1 ) ( ( 3 ) 2 + ( 1 ) 2 )

→ d y d x = - 9 13

Passo 3

Show de bola, no gráfico notamos que a reta tangente é decrescente em ( 3,1 ) e, portanto, a inclinação é negativa, o que confirma o que encontramos.

Resposta

d y d x = - 9 13

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Ao derivar x^2 - y^2 = 1^() implicitamente, mostre que (d^2 y)/(d^2 x) = - (1)/(y^3^()) .