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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 17

Encontre d^2 y // d x^2 por derivação implícita.

y + sin y = x

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

y + sin y = x

-> (d)/(d x) [y] + (d)/(d x) [sin y] = (d)/(d x) [x]

-> (d y)/(d x) + cos y (d y)/(d x) = 1

Vamos colocar d y // d x em evidência:

-> (d y)/(d x) (1 + cos y) = 1

Logo, temos:

-> (d y)/(d x) = (1)/(1 + cos y)

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

(d y)/(d x) = (1)/(1 + cos y)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y)/((1 + cos y)^2) * (d y)/(d x)

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir (d y)/(d x) pelo que já encontramos no passo 1:

(d^2 y)/(d x^2) = (- sin y)/((1 + cos y)^2) * (d y)/(d x)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y)/((1 + cos y)^2) * (1)/(1 + cos y)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y)/((1 + cos y)^3)

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (- sin y)/((1 + cos y)^3)

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Se x y + e y = e , encontre o valor de y ' ' no ponto onde x = 0 .
Mostre que a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 e a hipérbole x 2 A 2 - y 2 B 2 = 1 são trajetórias ortogonais se A 2a 2 e a 2 - b 2 = A 2 + B 2 (logo, a elipse e a hipérbole possuem os mesmos focos).
Se x 2 + x y + y 3 = 1 , encontre o valor de y ' ' ' no ponto onde x = 1 .
Use a derivação implícita para encontrar y ' se x 2 + x y + y 2 + 1 = 0 .Trace a curva da parte (a). O que você observa? Demonstre que o que você observa está correto.Em vista da parte (b), o que você
Encontre o valor do número a de tal modo que as famílias das curvas y = x + c - 1 e y = a x + k 1 / 3 sejam trajetórias ortogonais.