Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 47
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Fala aí, gente bonita!! O que essa questão quer? Precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo? Como podemos fazer isso?
Para nos ajudar a determinar se a sequência diverge ou converge, precisamos lembrar que uma sequência tem limite e escrevemos
se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.
Show de bola?!
Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Passo 2
Vamos chamar de o limite da nossa sequência
Quando lidamos com expressões exponenciais, como no caso da sequência, pode ser útil aplicar o logaritmo natural para lidar com a parte exponencial da equação. Ao fazer isso, transformamos a expressão exponencial em uma forma mais simples e tratável, permitindo a gente aplicar técnicas como a regra de L'Hôpital para avaliar o limite da sequência. Sacou?
Então vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da expressão.
Como o logaritmo é uma função contínua, então podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um limite:
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que nos permite extrair o expoente como um coeficiente do logaritmo:
Assim,
Aqui, vamos dividir ambos os lados da equação por . Isso é uma manipulação válida, pois não altera o valor da expressão. Essa transformação é útil porque nos permite aplicar a forma indeterminada , que é uma condição necessária para usar a regra de L'Hôpital para avaliar o limite.
Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui, beleza? Seja . Note que conforme . Assim,
Passo 3
Vamos aplicar o limite!
Nos deparamos aqui com uma indeterminação! Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim, temos:
Vamos elevar os dois lados com a base :
Logo, a série converge para
Resposta
A série converge para !