Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 51
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa sequência aqui
E precisamos decidir se ela diverge ou converge (e se converge, para onde). E agora?
Nossa função é a função arcotangente do logaritmo natural. Lembrando que o arcotagente é o inverso da tangente.
Então, uma sequência tem limite e escrevemos
se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge.
Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Passo 2
Vamos chamar de o limite e resolvê-lo!
Aplicando o limite, temos:
E sabemos que a função logaritmo vai a infinito, embora de forma muito lenta, mas vai pra infinito! Então temos na verdade
Tranquilo?
Passo 3
Precisamos lembrar agora um pouquinho de trigonometria. Vamos olhar para o círculo trigonométrico, olhando especificamente para a função tangente (em verde):
Podemos ver que o valor da tangente aumenta conforme o valor do ângulo aumenta. Quando (seria uma reta verde vertical), o valor da tangente vai para o infinito. Como a função arco tangente é a inversa, o valor de será igual a:
Assim, a sequência converge para !
Resposta
A série converge para !