Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a_n = n! / (2^n)

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

Vamos avaliar o seguinte limite:

l i m n → ∞ n ! 2 n

Passo 2

Vamos expandir essa sequência:

L = l i m n → ∞ ( 1 × 2 × 3 … × n - 1 × n ) 2 × 2 × 2 × … × 2 × 2

L = l i m n → ∞ 1 2 × 2 2 × 3 2 … × n - 1 2 × n 2

L = l i m n → ∞ 1 2 × 2 2 × 3 2 … × n - 1 2 × n 2

Podemos notar aqui que a parte em negrito é um produto de infinitos termos, onde cada um é maior que 1 . Portanto, a parte da expressão em negrito é igual a .

Assim,

L = l i m n → ∞ 1 2 × 2 2 × ∞ = ∞

Portanto, a série diverge!

Resposta

A série diverge!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados