Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 48
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Galerinha, precisamos começar analisando o seguinte limite.
Se nossa sequência se aproxima do valor quando nossos termos crescem muito, ou seja, . Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.
Nesse caso o limite que precisaremos calcular será:
Passo 2
Vamos chamar de o limite:
Vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da expressão:
Usando a propriedade :
Reescrevendo a expressão:
Passo 3
Vamos aplicar o limite!
Nos deparamos aqui com uma indeterminação! Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Lembrando que essa regra só se aplica aos tipo de indeterminação: e .
Assim, temos:
Simplificando, ficamos com:
Aqui vemos que quando , nosso denominador cresce tanto que torna muito pequeno, se aproximando cada vez mais de 0. Logo, temos que:
Vamos elevar os dois lados com a base porque assim a gente elimina a função e ficamos só com nossa incógnita :
Como todo número elevado a 0 é 1, por fim, chegamos em:
Logo, a série converge para
Resposta
A série converge para 1!