Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 43
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Galerinha, belezura? Assim como nas questões anteriores, nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?
Então vamosssss lá! Para determinarmos se a sequência
converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito.
Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??
Vamos relembrar que uma sequência tem limite e escrevemos
se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Passo 2
Vamos avaliar primeiro essa série. Sabemos que a função cosseno varia entre e . No entanto, como temos um cosseno ao quadrado, ele passa a variar entre e . Assim, temos:
Vamos dividir tudo por .
Vamos avaliar os limites desse intervalo. Primeiro temos que:
Agora, na outra ponta, temos:
Aplicando o limite temos:
Logo, podemos escrever que:
Aqui vamos precisar o Teorema do Confronto! Ele afirma que se uma sequência está sempre entre duas outras sequências e essas duas sequências têm o mesmo limite (que é zero, no nosso caso), então a sequência em questão também converge para o mesmo limite, que é zero.
Assim, pelo teorema do Confronto, o valor do limite da sequência dada converge para zero!
Resposta
A série converge para zero!