Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 3

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

Passo 1

Fala, povo! Como estão?

Precisamos definir o comportamento da série dada no enunciado:

Definindo o que significa cada um deles: Se converge, então é absolutamente convergente.

Ela é condicionalmente convergente se converge, mas diverge, indicando que a convergência da série original depende da alternância de sinais dos termos.

Por fim, uma série é divergente se não converge

Aqui no nosso caso temos um termo com fatorial. Uma dica é que quando temos esse tipo de termo ajuda bastante se usarmos o Teste da Razão: calculamos o limite:

Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.

Bora encarar essa!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão. Colocando:

Para achar é só substituirmos por :

Fazendo a divisão do limite:

Abrindo o termo fatorial e o fazendo:

Simplificando os termos e tirando do módulo:

Passo 3

Tomando o limite de

Tirando a constante para fora do limite e calculando o limite:

Resumindo:

Então, como temos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 2 ,a n + 1 = 2 n ( a n )