Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 10 n n !

Passo 1

Fala, povo! Como estão?

Precisamos definir o comportamento da série dada no enunciado:

∑ n = 1 ∞ - 10 n n !

Definindo o que significa cada um deles: Se ∑ ∣ a n ∣ converge, então ∑ a n ​ é absolutamente convergente.

Ela é condicionalmente convergente se ∑ a n ​ converge, mas ∑ ∣ a n ∣ diverge, indicando que a convergência da série original depende da alternância de sinais dos termos.

Por fim, uma série é divergente se ∑ a n não converge

Aqui no nosso caso temos um termo com fatorial. Uma dica é que quando temos esse tipo de termo ajuda bastante se usarmos o Teste da Razão: calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se: L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ )e se L = 1 → o teste é inconclusivo.

Bora encarar essa!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão. Colocando:

a n = - 10 n n !  

Para achar a n + 1 é só substituirmos n por n + 1 :

a n + 1 = - 10 n + 1 n + 1 !

Fazendo a divisão do limite:

a n + 1 a n = - 10 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! - 10 n

Abrindo o termo fatorial e o fazendo: - 10 n + 1 = - 10 n ⋅ - 10 1

a n + 1 a n = - 10 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! - 10 n = - 10 n ⋅ - 10 n + 1 ⋅ n ! ⋅ n ! - 10 n

Simplificando os termos e tirando do módulo:

- 10 n ⋅ - 10 n + 1 ⋅ n ! ⋅ n ! - 10 n     = - 10 n + 1 = 10 1 n + 1

Passo 3

Tomando o limite de n → ∞

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 10 1 n + 1

Tirando a constante para fora do limite e calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 10 1 n + 1 = 10 lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 10 ⋅ 0

Resumindo:

10 lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0

Então, como L < 1 ,   temos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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