Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 11
15.11. Calcule a integral iterada.
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!
Para resolver essa questão, precisamos calcular a integral iterada:
A integral iterada é uma forma de calcular integrais múltiplas, onde integramos sequencialmente uma variável de cada vez. No caso de funções que podem ser separadas em produtos de funções de variáveis independentes, como , podemos simplificar o cálculo usando a propriedade:
Isso facilita o processo, pois podemos resolver duas integrais simples em vez de uma integral dupla diretamente.
Passo 2
Na nossa questão, temos:
Ou seja:
e
Então, vamos reescrever a integral que queremos resolver:
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a integral em relação a :
Vamos usar uma substituição simples
Então
A integral de é , então:
Voltando da substituição:
Nos limites:
Passo 4
Agora vamos resolver a outra integral:
Bom vamos fazer uma substituição muito parecida com a do passo anterior
Então
A integral de é , então:
Voltando da substituição:
Fazendo nos limites:
Passo 5
Falta pouco para terminar:
A gente já tem os valores dessas integrais:
E terminamos.