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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 46

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

a 1 = 1 ,           a n + 1 = 1 + t g - 1   n n ( a n )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

a n + 1 = 1 + t g - 1   n n ( a n )

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + t g - 1   n n ( a n ) a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + t g - 1   n n

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 + t g - 1   n n = 0

Como 0 < 1 , a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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