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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 56

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ ( 3 n ) ! n ! n + 1 ! n + 2 !

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ ( 3 n ) ! n ! n + 1 ! n + 2 !

Vamos dizer que:

a n = ( 3 n ) ! n ! n + 1 ! n + 2 !

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 3 ) ! ( n + 1 ) ! n + 2 ! n + 3 ! ( 3 n ) ! n ! n + 1 ! n + 2 ! = lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 3 ) ! ( n + 1 ) ! n + 2 ! n + 3 ! × n ! n + 1 ! n + 2 ! ( 3 n ) !

lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 3 ) ! ( n + 1 ) ! n + 2 ! n + 3 ! × n ! n + 1 ! n + 2 ! ( 3 n ) ! = lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 3 ) ! n + 3 ! × n ! ( 3 n ) !

Lembrando que:

3 n + 3 ! = 3 n + 3 3 n + 2 ! = 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 ! = 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n !

n + 3 ! = n + 3 n + 2 ! = n + 3 n + 2 n + 1 ! = n + 3 n + 2 n + 1 n !

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 3 ) ! n + 3 ! × n ! ( 3 n ) ! = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! n + 3 n + 2 n + 1 n ! × n ! ( 3 n ) !

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! n + 3 n + 2 n + 1 n ! × n ! ( 3 n ) ! = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 n + 3 n + 2 n + 1

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 n + 3 n + 2 n + 1 = 3 1 × 3 1 × 3 1 = 27

Como 27 > 1 , a nossa série diverge.

Resposta

D i v e r g e .

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