Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 28
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.
Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.
Supondo que nós temos duas séries: e , podemos concluir algumas coisas:
- Se e nós sabemos que diverge, então também diverge.
- Se e nós sabemos que converge, então também converge.
- Para outros casos não podemos concluir nada.
Passo 2
Para esta série, vamos tentar provar que ela diverge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série diverge, precisamos de uma série divergente que seus termos sejam menores que o da nossa série.
Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que
E isso vale para .
Para compararmos, vamos usar a série harmonica
Mas porque essa série?
Primeiramente, porque ela diverge, e queremos provar que nossa série diverge.
Passo 3
Outro motivo pelo qual vamos usar é que
Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor
Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador, se pensarmos no , quando o numerador da esquerda vale e então vai diminuído até chegar no limite quando valendo .
Então como e nós sabemos que diverge, pelo teste da comparação
É divergente.
Resposta
Diverge.