Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.

x^2 + y^2 + 4z^2 = 4, y >= 0

x^2 + z^2 = 1

Passo 1

Olá, meu querido. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem as duas curvas:

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4   ,   y ≥ 0

E

x 2 + z 2 = 1

O que a gente vai fazer aqui é unir as duas equações em uma só, isso é o que é feito em uma intersecção. Depois que tivermos em mão uma equação que represente ambas, ai sim iremos cuidar da função vetorial.

Passo 2

Seja então:

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4

Podemos reescrever dessa forma:

x 2 + y 2 + z 2 + 3 z 2 = 4

Assim podemos substituir x 2 + z 2 = 1

x 2 + z 2 + y 2 + 3 z 2 = 4

1 + y 2 + 3 z 2 = 4

y 2 + 3 z 2 = 3

y 2 = 3 - 3 z 2

y = 3 - 3 z 2

Iremos pegar apenas y > 0 , pois o enunciado deixou essa condição para a gente.

Passo 3

Agora a gente vai parametrizar. Seja z = sin ⁡ θ , teremos que:

y = 3 - 3 sin 2 ⁡ θ

y = cos ⁡ θ 3

A gente também sabe que:

x 2 + z 2 = 1

Então:

x 2 = 1 - sin 2 ⁡ θ

x = cos ⁡ θ

Sendo assim, teremos nossa equação como:

r t = c o s t   i + 3 | c o s t |   j + s e n t   k         0 ≤ t ≤ 2 π

Resposta

A função vetorial pedida é:

r t = c o s t   i + 3 | c o s t |   j + s e n t   k         0 ≤ t ≤ 2 π

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