Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 15
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos lá meu amigo, temos que analisar se a seguinte série converge ou diverge.
Para isso precisamos escolher um método que testa a convergência de séries. Mas qual método escolher? Pegue essa dica bem bacana! Veja que a série possui uma similaridade com uma geométrica, o que nos diz que faz sentido utilizarmos o teste da comparação.
Em geral se a função da série for uma razão ou uma função algébrica de , poderemos comparar uma p-série
E o que é o método do teste da comparação? 🤔
É um método que nos permite saber se uma série dada converge ou não, ao compará-la com uma outra série parecida que já sabemos a resposta.
Veja: Considerando que a série que precisamos descobrir a convergência seja , iremos compará-la com uma série . O teorema da comparação dirá o seguinte:“Se é divergente e se:
para todo a partir de um qualquer. Então também diverge.”
Por outro lado, “Se é convergente e se:
para todo a partir de um qualquer. Então também converge.”
Agora que já ficou claro como iremos resolver, vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Primeiramente temos que encontrar uma série que seja parecida o suficiente com a série dada, e que seja possível encontrar se converge ou não. Essa série de comparação será chamada de .
E sendo:
Uma dica muito útil nesse momento. É observamos qual a maior potência do numerador e do denominador. Nesse caso há apenas um termo no numerador . E no denominador utilizaramos . Logo temos:
Essa série é uma série geométrica.
Vamos nos recordar da definição de série geométrica?
Uma série geométrica é qualquer série que tenha a seguinte “cara”
Sendo que é o termo inicial da série.
Essa série será convergente apenas para . E será divergente em qualquer outro caso.
Ou seja: Nossa série:
é uma série geométrica com razão .
O que por definição faz com que ela seja divergente.
Agora, vamos fazer a comparação entre essa série e a série dada pelo exercício:
E o que isso nos diz sobre a convergência da série dada? 🤔
Para responder isso, precisamos recordar que teorema da comparação diz que ambas divergem, caso diverge.
Ou seja: